← Πίσω στην αρχική

⚔️ Κεφάλαιο 4: ΔΙΑΙΡΕΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΛΕΥΕ

Ανάλυση Προβλήματος - Μέθοδος Διαιρεί και Βασίλευε

📌 Γιατί πρέπει να γίνεται ανάλυση του προβλήματος;

Είναι πιθανόν ένα πρόβλημα να μην επιλύεται με μία μόνο λύση, αλλά με περισσότερες. Γενικά, η λύση σε ένα πρόβλημα μπορεί να προέλθει από ποικίλες και διαφορετικές προσεγγίσεις, τεχνικές και μεθόδους.

Έτσι, είναι απαραίτητο να γίνεται μια καλή ανάλυση του κάθε προβλήματος και να προτείνεται συγκεκριμένη μεθοδολογία και ακολουθία βημάτων, η οποία θα οδηγήσει σε έξυπνες και αποδοτικές λύσεις.

📋 Βήματα Ανάλυσης Προβλήματος

Η ανάλυση ενός προβλήματος σε ένα σύγχρονο προγραμματιστικό περιβάλλον περιλαμβάνει τα εξής βήματα:

  1. Την καταγραφή της υπάρχουσας πληροφορίας για το πρόβλημα.
  2. Την αναγνώριση των ιδιαιτεροτήτων του προβλήματος.
  3. Την αποτύπωση των συνθηκών και προϋποθέσεων υλοποίησής του.
  4. Την πρόταση επίλυσης με χρήση κάποιας μεθόδου.
  5. Την τελική επίλυση με χρήση υπολογιστικών εργαλείων.

❓ Ερωτήσεις που πρέπει να απαντήσουμε κατά την ανάλυση

  1. Ποια είναι τα δεδομένα και το μέγεθος του προβλήματος;
  2. Ποιες είναι οι συνθήκες που πρέπει να πληρούνται για την επίλυση του προβλήματος;
  3. Ποια είναι η πλέον αποδοτική μέθοδος επίλυσης; (σχεδίαση αλγορίθμου)
  4. Πώς θα καταγραφεί η λύση σε ένα πρόβλημα; (π.χ. σε ψευδογλώσσα)
  5. Ποιος είναι ο τρόπος υλοποίησης στο συγκεκριμένο υπολογιστικό σύστημα; (π.χ. επιλογή γλώσσας προγραμματισμού)

📬 Παράδειγμα Ανάλυσης Προβλήματος

Ας θεωρήσουμε έναν ταχυδρόμο, ο οποίος πρέπει να ξεκινήσει από ένα χωριό, να επισκεφθεί έναν αριθμό γειτονικών χωριών για να μοιράζει γράμματα και να επιστρέψει στο αρχικό χωριό, περνώντας μόνο μία φορά από το κάθε χωριό.

Θα μπορούσαμε να αναλύσουμε το πρόβλημα με τους ακόλουθους τρόπους:

  • Προσέγγιση 1: Να επιλέγει ο ταχυδρόμος την πιο κοντινή απόσταση σε σχέση με το χωριό που βρίσκεται (greedy approach).
  • Προσέγγιση 2: Να υπολογιστούν όλες οι πιθανές διαδρομές και να επιλεχθεί αυτή με την ελαχιστοποίηση της συνολικής απόστασης και όχι την ελαχιστοποίηση της απόστασης κάθε φορά. Η προσέγγιση αυτή απαιτεί περισσότερους υπολογιστικούς πόρους.
💡 Παρατήρηση: Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί με διαφορετικούς τρόπους, ο καθένας με τα δικά του πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα σε ταχύτητα και πολυπλοκότητα.

🎯 Σημασία της Ανάλυσης Προβλημάτων

Η ανάλυση κάθε προβλήματος είναι απαραίτητη, έτσι ώστε να αναζητηθεί η πλέον κατάλληλη μέθοδος που να παρέχει τη ζητούμενη λύση, όσο γίνεται ταχύτερα και με το λιγότερο δυνατό κόστος σε υπολογιστικούς πόρους.

⚖️ Υπάρχει γενικός κανόνας ανάλυσης προβλημάτων;

Δεν υπάρχει ένας ενιαίος κανόνας, μία γενική φόρμουλα που να αναφέρεται στην επίλυση του συνόλου των προβλημάτων.

Υπάρχουν όμως "συγγενή" προβλήματα, δηλαδή προβλήματα που μπορούν να αναλυθούν με παρόμοιο τρόπο και να αντιμετωπισθούν με αντίστοιχες μεθόδους και τεχνικές.

✨ Χαρακτηριστικά της Ανάλυσης Προβλημάτων

  1. Παρέχουν ένα γενικό πρότυπο κατάλληλο για την επίλυση προβλημάτων ευρείας κλίμακας.
  2. Μπορούν να αναπαρασταθούν με κοινές δομές δεδομένων και ελέγχου (που υποστηρίζονται από τις περισσότερες σύγχρονες γλώσσες προγραμματισμού).
  3. Παρέχουν τη δυνατότητα καταγραφής των χρονικών και "χωρικών" απαιτήσεων της μεθόδου επίλυσης, έτσι ώστε να μπορεί να γίνει επακριβής εκτίμηση των πόρων που απαιτούνται.

⚔️ Μέθοδος «Διαιρεί και Βασίλευε» (Divide and Conquer)

Η «Διαιρεί και Βασίλευε» (divide and conquer) αποτελεί μια μέθοδο σχεδίασης αλγορίθμων στην οποία εντάσσονται οι τεχνικές που υποδιαιρούν ένα πρόβλημα σε μικρότερα υποπροβλήματα, που έχουν την ίδια τυποποίηση με το αρχικό πρόβλημα, αλλά είναι μικρότερα σε μέγεθος.

Με όμοιο τρόπο, τα υποπροβλήματα αυτά μπορούν να διαιρεθούν σε ακόμη μικρότερα υποπροβλήματα κ.ο.κ. Έτσι η επίλυση ενός προβλήματος έγκειται στη σταδιακή επίλυση των όσο το δυνατόν μικρότερων υποπροβλημάτων, ώστε τελικά να προκύψει η συνολική λύση του αρχικού ευρύτερου προβλήματος.

📌 Προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω» (top-down): Η μέθοδος αυτή ονομάζεται και προσέγγιση «από πάνω προς τα κάτω», γιατί ξεκινάμε από το γενικό πρόβλημα και το διασπάμε σε μικρότερα μέρη.

🪜 Βήματα Μεθόδου «Διαιρεί και Βασίλευε»

Βήμα 1: Δίνεται για επίλυση ένα στιγμιότυπο ενός προβλήματος.
Βήμα 2: Το στιγμιότυπο του προβλήματος υποδιαιρείται σε υποστιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος.
Βήμα 3: Δίνεται ανεξάρτητη λύση σε κάθε ένα υποστιγμιότυπο.
Βήμα 4: Συνδυάζονται όλες οι μερικές λύσεις που βρέθηκαν για τα υποστιγμιότυπα, έτσι ώστε να δοθεί η συνολική λύση του αρχικού προβλήματος.

🔍 Μέγιστος Αριθμός Συγκρίσεων σε Ταξινομημένα Στοιχεία

Στο πλαίσιο του μαθήματος, η υλοποίηση της μεθόδου «Διαιρεί και Βασίλευε» γίνεται με την επαναληπτική προσέγγιση (με διαδοχικές επαναλήψεις).

Ο μέγιστος αριθμός των συγκρίσεων (επαναλήψεων) που απαιτούνται για την εύρεση ενός στοιχείου σε ένα σύνολο n ταξινομημένων στοιχείων, συμπεριλαμβανομένης και της περίπτωσης μη ύπαρξης του στοιχείου, δίνεται από το ακέραιο μέρος του:

[ log₂(n) + 1 ] (με στρογγυλοποίηση προς τα κάτω)
⚠️ Σημείωση: Η απόδειξη του τύπου υπερβαίνει τα όρια της διδακτέας ύλης του μαθήματος. Επομένως, για την εύρεση του μέγιστου πλήθους των επαναλήψεων θεωρείται γνωστό το log₂(n).

📐 Παράδειγμα Υπολογισμού

Σε ένα σύνολο 100 ταξινομημένων στοιχείων (n = 100):

[ log₂(100) + 1 ] = [ 6,643856 + 1 ] = [ 7,643856 ] = 7

Ο μέγιστος αριθμός συγκρίσεων (επαναλήψεων) είναι 7.

💡 Χαρακτηριστικό παράδειγμα: Η Δυαδική Αναζήτηση ακολουθεί τη λογική της μεθόδου «Διαιρεί και Βασίλευε». Σε κάθε βήμα, το σύνολο των στοιχείων διαιρείται στη μέση και ελέγχεται μόνο το μισό που περιέχει το ζητούμενο στοιχείο.
💡 Συμβουλή: Κάνε κλικ σε κάθε ερώτηση για να δεις την αναλυτική απάντηση.

1. Γιατί πρέπει να γίνεται ανάλυση του προβλήματος πριν την επίλυσή του;

▼

Είναι πιθανόν ένα πρόβλημα να μην επιλύεται με μία μόνο λύση, αλλά με περισσότερες. Η λύση σε ένα πρόβλημα μπορεί να προέλθει από ποικίλες και διαφορετικές προσεγγίσεις, τεχνικές και μεθόδους.

Έτσι, είναι απαραίτητο να γίνεται μια καλή ανάλυση του κάθε προβλήματος και να προτείνεται συγκεκριμένη μεθοδολογία και ακολουθία βημάτων, η οποία θα οδηγήσει σε έξυπνες και αποδοτικές λύσεις.

2. Ποια βήματα περιλαμβάνει η ανάλυση ενός προβλήματος σε ένα σύγχρονο προγραμματιστικό περιβάλλον;

▼
  1. Την καταγραφή της υπάρχουσας πληροφορίας για το πρόβλημα.
  2. Την αναγνώριση των ιδιαιτεροτήτων του προβλήματος.
  3. Την αποτύπωση των συνθηκών και προϋποθέσεων υλοποίησής του.
  4. Την πρόταση επίλυσης με χρήση κάποιας μεθόδου.
  5. Την τελική επίλυση με χρήση υπολογιστικών εργαλείων.

3. Σε ποιες ερωτήσεις πρέπει να απαντήσουμε κατά την ανάλυση ενός προβλήματος;

▼
  1. Ποια είναι τα δεδομένα και το μέγεθος του προβλήματος;
  2. Ποιες είναι οι συνθήκες που πρέπει να πληρούνται για την επίλυση του προβλήματος;
  3. Ποια είναι η πλέον αποδοτική μέθοδος επίλυσης (σχεδίαση αλγορίθμου);
  4. Πώς θα καταγραφεί η λύση σε ένα πρόβλημα (π.χ. σε ψευδογλώσσα);
  5. Ποιος είναι ο τρόπος υλοποίησης στο συγκεκριμένο υπολογιστικό σύστημα (π.χ. επιλογή γλώσσας προγραμματισμού);

4. Να δώσετε ένα παράδειγμα ανάλυσης προβλήματος.

▼

Πρόβλημα: Ένας ταχυδρόμος πρέπει να ξεκινήσει από ένα χωριό, να επισκεφθεί έναν αριθμό γειτονικών χωριών για να μοιράζει γράμματα και να επιστρέψει στο αρχικό χωριό, περνώντας μόνο μία φορά από το κάθε χωριό.

Προσέγγιση 1: Ο ταχυδρόμος επιλέγει κάθε φορά το πιο κοντινό χωριό (τοπικά βέλτιστη λύση).

Προσέγγιση 2: Υπολογίζονται όλες οι πιθανές διαδρομές και επιλέγεται αυτή με την ελάχιστη συνολική απόσταση (ολικά βέλτιστη λύση). Αυτή απαιτεί περισσότερους υπολογιστικούς πόρους.

5. Ποια είναι η σημασία της ανάλυσης των προβλημάτων;

▼

Η ανάλυση κάθε προβλήματος είναι απαραίτητη, έτσι ώστε να αναζητηθεί η πλέον κατάλληλη μέθοδος που να παρέχει τη ζητούμενη λύση, όσο γίνεται ταχύτερα και με το λιγότερο δυνατό κόστος σε υπολογιστικούς πόρους.

6. Υπάρχει κάποιος γενικός κανόνας ανάλυσης προβλημάτων;

▼

Όχι, δεν υπάρχει ένας ενιαίος κανόνας ή μια γενική φόρμουλα που να αναφέρεται στην επίλυση του συνόλου των προβλημάτων.

Υπάρχουν όμως "συγγενή" προβλήματα, δηλαδή προβλήματα που μπορούν να αναλυθούν με παρόμοιο τρόπο και να αντιμετωπισθούν με αντίστοιχες μεθόδους και τεχνικές.

7. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της ανάλυσης των προβλημάτων;

▼
  1. Παρέχουν ένα γενικό πρότυπο κατάλληλο για την επίλυση προβλημάτων ευρείας κλίμακας.
  2. Μπορούν να αναπαρασταθούν με κοινές δομές δεδομένων και ελέγχου (που υποστηρίζονται από τις περισσότερες σύγχρονες γλώσσες προγραμματισμού).
  3. Παρέχουν τη δυνατότητα καταγραφής των χρονικών και "χωρικών" απαιτήσεων της μεθόδου επίλυσης, έτσι ώστε να μπορεί να γίνει επακριβής εκτίμηση των πόρων που απαιτούνται.

8. Περιγράψτε τη μέθοδο «Διαιρεί και Βασίλευε».

▼

Η «Διαιρεί και Βασίλευε» (divide and conquer) αποτελεί μια μέθοδο σχεδίασης αλγορίθμων στην οποία εντάσσονται οι τεχνικές που υποδιαιρούν ένα πρόβλημα σε μικρότερα υποπροβλήματα, που έχουν την ίδια τυποποίηση με το αρχικό πρόβλημα, αλλά είναι μικρότερα σε μέγεθος.

Με όμοιο τρόπο, τα υποπροβλήματα αυτά μπορούν να διαιρεθούν σε ακόμη μικρότερα υποπροβλήματα κ.ο.κ. Έτσι η επίλυση ενός προβλήματος έγκειται στη σταδιακή επίλυση των όσο το δυνατόν μικρότερων υποπροβλημάτων, ώστε τελικά να προκύψει η συνολική λύση του αρχικού ευρύτερου προβλήματος.

Η προσέγγιση αυτή ονομάζεται «από πάνω προς τα κάτω» (top-down).

9. Με ποια βήματα μπορεί να αποδοθεί η μέθοδος «Διαιρεί και Βασίλευε»;

▼
  1. Δίνεται για επίλυση ένα στιγμιότυπο ενός προβλήματος.
  2. Το στιγμιότυπο του προβλήματος υποδιαιρείται σε υποστιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος.
  3. Δίνεται ανεξάρτητη λύση σε κάθε ένα υποστιγμιότυπο.
  4. Συνδυάζονται όλες οι μερικές λύσεις που βρέθηκαν για τα υποστιγμιότυπα, έτσι ώστε να δοθεί η συνολική λύση του αρχικού προβλήματος.

10. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε τον μέγιστο αριθμό συγκρίσεων που απαιτούνται για την εύρεση ενός στοιχείου σε ένα σύνολο ταξινομημένων στοιχείων;

▼

Στο πλαίσιο του μαθήματος, η υλοποίηση της μεθόδου «Διαιρεί και Βασίλευε» γίνεται με την επαναληπτική προσέγγιση (με διαδοχικές επαναλήψεις).

Ο μέγιστος αριθμός των συγκρίσεων (επαναλήψεων) που απαιτούνται για την εύρεση ενός στοιχείου σε ένα σύνολο n ταξινομημένων στοιχείων, συμπεριλαμβανομένης και της περίπτωσης μη ύπαρξης του στοιχείου, δίνεται από το ακέραιο μέρος του:

[ log₂(n) + 1 ] (με στρογγυλοποίηση προς τα κάτω)

Η απόδειξη του τύπου υπερβαίνει τα όρια της διδακτέας ύλης. Επομένως, για τον υπολογισμό θεωρείται γνωστό το log₂(n).

Παράδειγμα: Για n = 100: log₂(100) ≈ 6,64 → [6,64 + 1] = [7,64] = 7 συγκρίσεις.

α) Τη δυνατότητα καταγραφής χρονικών και "χωρικών" απαιτήσεων
β) Την αύξηση των απαιτήσεων μνήμης
γ) Την εξάλειψη της ανάγκης για μνήμη
δ) Την αυτόματη επιλογή υλικού

8. Τι κάνει η μέθοδος «Διαιρεί και Βασίλευε»;

α) Λύνει το πρόβλημα σε ένα βήμα
β) Υποδιαιρεί το πρόβλημα σε μικρότερα υποπροβλήματα της ίδιας μορφής
γ) Αυξάνει το μέγεθος του προβλήματος
δ) Αποφεύγει τη χρήση επαναλήψεων

9. Πώς ονομάζεται η προσέγγιση της μεθόδου «Διαιρεί και Βασίλευε»;

α) Από κάτω προς τα πάνω
β) Παράλληλη
γ) Από πάνω προς τα κάτω (top-down)
δ) Τυχαία

10. Ποιος είναι ο τύπος για τον μέγιστο αριθμό συγκρίσεων σε n ταξινομημένα στοιχεία;

α) [log₂(n) + 1]
β) [log₂(n) - 1]
γ) [n / 2]
δ) [n²]

11. Για n = 100, ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός συγκρίσεων;

α) 6
β) 7
γ) 8
δ) 100

12. Ποιο χαρακτηριστικό παράδειγμα ακολουθεί τη λογική «Διαιρεί και Βασίλευε»;

α) Σειριακή αναζήτηση
β) Ταξινόμηση φυσαλίδας
γ) Δυαδική αναζήτηση
δ) Αναζήτηση μέγιστου

🏆 Τελικό Σκορ

💪 Προκλήσεις: Προσπάθησε να τις λύσεις μόνος σου πριν δεις την απάντηση!

Άσκηση 1: Υπολογισμός συγκρίσεων

⭐

Υπολόγισε τον μέγιστο αριθμό συγκρίσεων για ταξινομημένα σύνολα με τα εξής μεγέθη:

  1. n = 8
  2. n = 16
  3. n = 32
  4. n = 64
  5. n = 128

Χρησιμοποίησε τον τύπο: [log₂(n) + 1]

Λύση:

  1. n = 8: log₂(8) = 3 → [3 + 1] = 4 συγκρίσεις
  2. n = 16: log₂(16) = 4 → [4 + 1] = 5 συγκρίσεις
  3. n = 32: log₂(32) = 5 → [5 + 1] = 6 συγκρίσεις
  4. n = 64: log₂(64) = 6 → [6 + 1] = 7 συγκρίσεις
  5. n = 128: log₂(128) = 7 → [7 + 1] = 8 συγκρίσεις
📊 Παρατήρηση: Κάθε φορά που διπλασιάζουμε το n, ο μέγιστος αριθμός συγκρίσεων αυξάνεται κατά 1. Αυτό είναι το πλεονέκτημα της δυαδικής αναζήτησης!

Άσκηση 2: Εφαρμογή της μεθόδου

⭐⭐

Ένας αλγόριθμος «Διαιρεί και Βασίλευε» χρειάζεται 5 επαναλήψεις για να λύσει ένα πρόβλημα μεγέθους n.

Ερωτήσεις:

  1. Ποιο είναι το ελάχιστο n που μπορεί να επιλυθεί σε 5 επαναλήψεις;
  2. Ποιο είναι το μέγιστο n που μπορεί να επιλυθεί σε 5 επαναλήψεις;
  3. Αν n = 50, πόσες επαναλήψεις χρειάζονται;

Λύση:

  1. Από τον τύπο [log₂(n) + 1] = 5 → log₂(n) + 1 = 5 → log₂(n) = 4 → n = 2⁴ = 16. Το ελάχιστο n είναι 16.
  2. Για 5 επαναλήψεις: log₂(n) πρέπει να είναι μεταξύ 4 και 5 (αποκλειστικά). Άρα n μεταξύ 16 και 32. Το μέγιστο n είναι 31 (γιατί για n = 32, log₂(32) = 5, άρα [5 + 1] = 6 επαναλήψεις).
  3. Για n = 50: log₂(50) ≈ 5,64 → [5,64 + 1] = [6,64] = 6 επαναλήψεις.

Άσκηση 3: Σύγκριση μεθόδων

⭐⭐

Έχουμε ένα ταξινομημένο σύνολο με 1.000.000 στοιχεία.

Ερωτήσεις:

  1. Πόσες συγκρίσεις χρειάζονται με σειριακή αναζήτηση στη χειρότερη περίπτωση;
  2. Πόσες συγκρίσεις χρειάζονται με δυαδική αναζήτηση (Διαιρεί και Βασίλευε);
  3. Πόσες φορές πιο γρήγορη είναι η δυαδική αναζήτηση στη χειρότερη περίπτωση;

Λύση:

  1. Σειριακή αναζήτηση: στη χειρότερη περίπτωση ελέγχουμε όλα τα στοιχεία → 1.000.000 συγκρίσεις.
  2. Δυαδική αναζήτηση: [log₂(1.000.000) + 1] = [19,93 + 1] = [20,93] = 20 συγκρίσεις.
  3. Η δυαδική αναζήτηση είναι 1.000.000 / 20 = 50.000 φορές πιο γρήγορη στη χειρότερη περίπτωση!
🚀 Συμπέρασμα: Η δυαδική αναζήτηση είναι εκπληκτικά αποδοτική για μεγάλα σύνολα δεδομένων. Αυτός είναι ο λόγος που η μέθοδος «Διαιρεί και Βασίλευε» είναι τόσο σημαντική.

Άσκηση 4: Βήματα μεθόδου

⭐⭐⭐

Ένας αλγόριθμος ταξινομεί έναν πίνακα 8 αριθμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο «Διαιρεί και Βασίλευε» (Merge Sort).

Ερωτήσεις:

  1. Περιέγραψε με λόγια τα βήματα που ακολουθεί ο αλγόριθμος.
  2. Πόσα επίπεδα διαίρεσης χρειάζονται;
  3. Πόσες συγκρίσεις χρειάζονται περίπου για τη συγχώνευση;

Λύση:

  1. Βήματα:
    • Διαίρεση: Χωρίζουμε τον πίνακα σε 2 μέρη των 4 αριθμών.
    • Αναδρομική διαίρεση: Κάθε μέρος χωρίζεται σε 2 των 2, και μετά σε 2 των 1.
    • Βάση: Πίνακας με 1 στοιχείο είναι ήδη ταξινομημένος.
    • Συγχώνευση: Συγχωνεύουμε τα ζευγάρια των 1 σε πίνακες των 2, μετά σε πίνακες των 4, και τέλος στον πίνακα των 8.
  2. Επίπεδα διαίρεσης: log₂(8) = 3 επίπεδα (8→4→2→1).
  3. Συγκρίσεις συγχώνευσης: Περίπου n × log₂(n) = 8 × 3 = 24 συγκρίσεις (στην πράξη λιγότερες λόγω βελτιστοποίησης).

Άσκηση 5: Ανάλυση προβλήματος

⭐⭐⭐

Πρόβλημα: Ένας μαθητής θέλει να βρει τη μέγιστη βαθμολογία σε μια λίστα 100 μαθητών. Έχει δύο επιλογές:

Ερωτήσεις:

  1. Πόσες συγκρίσεις κάνει η Μέθοδος Α;
  2. Πόσες συγκρίσεις κάνει η Μέθοδος Β;
  3. Ποια μέθοδος είναι πιο αποδοτική και γιατί;

Λύση:

  1. Μέθοδος Α: Για κάθε από τους 100 μαθητές, συγκρίνει με τους υπόλοιπους 99. Σύνολο: 100 × 99 / 2 = 4.950 συγκρίσεις (ή 100 αν κρατάμε το τρέχον μέγιστο).
  2. Μέθοδος Β:
    • Κάθε ομάδα των 50: 50 - 1 = 49 συγκρίσεις (για εύρεση μέγιστου).
    • 2 ομάδες: 2 × 49 = 98 συγκρίσεις.
    • Συγκριση 2 μέγιστων: 1 σύγκριση.
    • Σύνολο: 98 + 1 = 99 συγκρίσεις.
  3. Η Μέθοδος Β είναι πολύ πιο αποδοτική (99 vs 4.950 συγκρίσεις). Αυτό ακριβώς κάνει η μέθοδος «Διαιρεί και Βασίλευε»: σπάει το πρόβλημα σε μικρότερα, τα λύνει ανεξάρτητα, και συνδυάζει τις λύσεις.